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reflexiv, irreflexiv transistiv symmetrisch assymetrisch ...
Aber ich weiss noch mehr. Wenn sie ein kartheisches Produkt haben, haben sie
M_1 x M_2 x ... x M_n
Und eine Relation R ist eine Untermenge von dem.
Das heisst, von
>{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}
ist
>{(a,a),(b,a)}
eine Relation. Und ein Ergebnis ist bei, das hat damit nichts zu tun - bei einem Zufallsexperiment, mit drei Stufen, drei Mal Muenze werfen
{ZWZ}
oder
{WWZ}
Und dabei haben sie
{{WWW},{WWZ},...,{ZZZ}}
Der Witz ist, dass das Ergebnis nicht W - das ist bei einer Stufe, aber bei drei Stufen ist das ZZZ oder so. Aber, was ist jetzt ein Ereignis. das hat damit nichts zu tun. Sie haben die Gesamtheit
{{WWW},{WWZ},...,{ZZZ}}
Eine Teilmenge davon, egal, welche, ist das Ereignis, das hat mit dem Namen Ereignis nichts zu tun. Das ist wie bei dem Karthesischen Produkt, die Relation, hier einfach eine Untermenge, egal welche.
{{WZW},{WWZ}}
Zum Beispiel
gut, ich habe noch ein Buch - Mengen fuer Anfaenger am Gymnasium von 1960. Das lese ich auch noch. Gleich mit dazu. Das baue ich da ein.
Das ergibt in Zusammenhang mit den LKWs auch einen Sinn
Also, schauen sie mal - sie sind nett bloed, vielleicht oder sind es doch, die die das wissen, ich sage es aus meiner Sicht
Also, sie haben - Ein Zufallsexpierment, aber mehrstufig, mit einer Muenze. 3 Mal
dann haben sie
{{ZZZ},{ZZW}, ...}
Das heisst, sie haben nicht Z sondern, dreistufig ZZZ, sonst waere das nicht dreistufig
Jetzt haben sie einen LKW, als ein Experiment. Das Ereignis lautet, ein LKW faehrt vorbei. Einer oder mehrere. Das ist wieder ein mehrstufiges. Es kommen 125
Dann kommmt
{{LKW;LKW;LKW;... -- das 125 Mal}, ... {PKW;PKW...}}
Also die Ereignisse mit ohne LKW ist klein. Das Ereignis lautet ein LKW tritt auf
Das ist aber
{{LKW},{LKW}}
{{LKW},{PKW}}
{{PKW},{LKW}}
Das ist so oder so - mathematisch gesehen. Einfach eine Untermenge. Man muss das nicht so physikalisch sehen. Es gibt halt untermengen. Beim karthesischen Produkt die Relation. Jede Untermenge heisst halt so - und die hat halt als Untermenge den Namen
Hier heisst die Ereignis, die koennte ja auch Kuehlschrank heissen. Aber hier macht das ein Sinn
Weil das Ereignis, ist bei all diesen Dingen eingetreten.
Also, wenn sie
{1,2,3} das ist falsch schreibweise, sondern {123}
Wuerfeln, dann ist das Ein Ergebnis. Beim dreistufigen
Nicht 1 und 2 und 3
Wenn sie
{1,2,3} und {2,5,6} falsche schreibweise {123},{256}
Dann ist das ein Ereignis. Das heisst
{{1,1,1},{1,1,2}, ....} falsche Schreibeweise
{{111},{112},...}
ist die Grundmenge S. nicht etwa 1,2,3,4,5,6
Das sind die ergebnisse. Und Ereignisse ist die Untermenge von
{{1,1,1},{1,1,2}, ...., {6,6,6}}
falsche Schreibweise
{{111},{112},...{666}}
Und ein Elementareignis ist
{1,1,1}
{111}
oder
{1,1,2}
{112}
das ist ein Elementareignis. Aber nicht das Ergebnis. Das Ergenis ist immer noch 1, 2, 3, ...
Und Das Ergebnis ist nur Elementareignis beim einstufigen.
Eigentlich sogar
{123,651}
Aber sie koennen einzelne Elemente in eine Einelementrige Menge zusammenfassen, deswegen nicht falsch
Ich bin jetzt da hinter gekommen, was Laplace ist. Ich weiss, jetzt, dass ein Ereignis einfach eine Untermenge der Menge der Ergebnisse ist. Auch bei einem Mehrstufigen Zufallsexperiment
Beim Wuerfel
{1;2;3;4;5;6}
Aber das ist einstufig, mehrstufig
{11;12;13;14;15;16;21;22;23;...}
Und so weiter. Eine Untermenge beim Einstufigen Zufallsexperiment entspricht
{1,2,3,4,5,6}
Das sind sowohl einzeln genommen. Elementarereignisse
Doch ein Elementarereignis ist entweder
1 oder 2 oder 3
oder
1111111 123123123
das sind Elementarereignisse. Aber ein Ereignis kann auch eine Menge sein
{123123123123, 12312222222}
Und - wenn ich ein Zufallsexperiment mache, naehert sich das Ergebnis in jedem Fall einem festen Wert. Wenn es ein Zufallsexperiment ist. nur dann - also, den Kriterien genuegt. Beliebig oft wiederholbar und so weiter
Laplace - heisst, Ergebnis vorhersagbar und das heisst, die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses ist gleich gross
Ein wuerfel, 1/6, 1/6, ...
Ach, so guenstig durch moeglich heisst, das ist jetzt der Witz
bei einem wuerfel haben sie 1/6, 1/6, 1/6
aber, was ist guenstig durch moeglich?
Ganz einfach. Sie haben einen gezinkten wuerfel, mit 2 2ern und 3 6ern
dann haben sie
2/6 Wahrscheinlichkeit fuer 2 und 3/6 Wahrscheinlichkeit fuer 6
Und je nachdem, was noch da ist, 1/6 Wahrscheinlichkeit fuer die letzte Zahl
Und ein Urnen Experiment mit 3 Roten und zwei Weissen, heisst
3/5 fuer Rot 2/5 fuer Weiss
Das heisst, bei einem Laplace Experiment ist guenstig deswegen wichtig, weil Rot ist Rot, aber sie haben drei Rote Murmeln
Entschuldigung: 6*6 = 36, das muss 36 heissen
Jetzt gibt es dazwischen was, was noch eingeschoben werden muss, die die wahrscheinlichkeit beim mehrstufigen Zufallsexperiment
Also, wenn wir
Ein zweistufiges Wuerfelexperiment haben, haben wir
11,12,13,14,...
gut
Eigentlich koennnten wir einen wuerfel mit 36 Flaechen nehmen. Und den Ziffern drauf
Aber, der Witz ist, dass das zweistufige Zufallsexperiment das gleiche macht
Oder wir nehmen 2 Wuerfen
1.) Ein Wuerfel mit 36 Flaechen 2.) Zwei Wuerfel auf ein Mal 3.) Ein Wuerfel hintereinander
ist das gleiche. Und der Witz ist, dass wir davon ausgehen wir haben
1.) Zwei Wuerfel mit einem. Was eigentlich 11,12,...
bedeutet. Damit gibt es das nicht. Trotzdem kann man die Wahrscheinlichkeit beim mehrstufigen Zufallsxperiment ausrechnen
1/6*1/6 = 1/36
Also man kann die Wahrscheinlichkeit im mehrstufigen Zufallsexperiment ausrechnen, obwohl es eigentlich jeweils ein Elementarereignis nimmt
indem man die Wahrscheinlichkeit fuer 1, 2, 3, ... nimmt Und miteinander multipliziert.
Jetzt kommt das mit der menge. Also, das Ereignis ist ja eine Untermenge. Das heisst, bei
11, 12, 13, 14, ...
ist das einfach
23, 56
oder so. Ganz einfach. Und - wenn sie jetzt die Wahrscheinlichkeit berechnen, wenn das 2 Wuerfel sind
Sind das
1/6 * 1/6
das ist die Pfadmultiplikationsregeln
Wenn sie aber die Menge betrachte
1/6*1/6 + 1/6 * 1/6
Das wenn die Wahrscheinlichkeit gleich ist, schlechtes beispiel. Zum beispiel haben sie 5 mit der Wahrscheinlichkeit 3 und 2 mit der Wahrscheinlichkeit 2 und den Rest 1/3
Dann haben sie
3/6 * 2/6 + 1/6+1/6
Fuer
52,11
Jetzt ueberspringe ich den Additionssatz, aber Binomial ist einfach Der Additionssatz ist, wenn sie Lotterie 1 und 2 haben, das ist ja nicht schwierig. Ich lerne das auswendig
Das lerne ich, ich habe besseren aufschrieb, das ist nicht der Aufschrieb, keine Sorge, das waren meine Notizen, das waren nur bemerkungen, den Aufschrieb lerne ich
Jetzt kommt - Lotterie1 und 2. Das ist halt - Addtionssatz und jetzt kommt der Binomialkoeffizent
Zuerst gibt es dinge, wie
nk̂
Das ist einfach
2*2*2*2
und n!
1*2*3*4*...*n
sollte man programmiertechnisch machen koennen
k = 1; for (i = 1; i <= n; i++) k *= i;
OK. Und dann das naechste.
Jetzt gibt es geordnete Stichproben und ungeordnete. Und das lerne ich einfach auswendig.
Ach, ja, beim Additionssatz kommt die Bedingte Wahrscheinlichkeit. Also, das ist leicht zu verstehen, aber ich denke nicht, dass man das so sehr braucht.
Ich mache jetzt weiter Mathematik. Jetzt mache weiter.
Ich bin jetzt da hinter gekommen, was Laplace ist. Ich weiss, jetzt, dass ein Ereignis einfach eine Untermenge der Menge der Ergebnisse ist. Auch bei einem Mehrstufigen Zufallsexperiment
Beim Wuerfel
1;2;3;4;5;6
Aber das ist einstufig, mehrstufig
11;12;13;14;15;16;21;22;23;...
Und so weiter. Eine Untermenge beim Einstufigen Zufallsexperiment entspricht
1,2,3,4,5,6
Das sind sowohl einzeln genommen. Elementarereignisse
Doch ein Elementarereignis ist entweder
1 oder 2 oder 3
oder
1111111
123123123
das sind Elementarereignisse. Aber ein Ereignis kann auch eine Menge sein
123123123123, 12312222222
Und - wenn ich ein Zufallsexperiment mache, naehert sich das Ergebnis in jedem Fall einem festen Wert. Wenn es ein Zufallsexperiment ist. nur dann - also, den Kriterien genuegt. Beliebig oft wiederholbar und so weiter
Laplace - heisst, Ergebnis vorhersagbar und das heisst, die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses ist gleich gross
Ein wuerfel, 1/6, 1/6, ...
Ach, so guenstig durch moeglich heisst, das ist jetzt der Witz
bei einem wuerfel haben sie 1/6, 1/6, 1/6
aber, was ist guenstig durch moeglich?
Ganz einfach. Sie haben einen gezinkten wuerfel, mit 2 2ern und 3 6ern
dann haben sie
2/6 Wahrscheinlichkeit fuer 2 und 3/6 Wahrscheinlichkeit fuer 6
Und je nachdem, was noch da ist, 1/6 Wahrscheinlichkeit fuer die letzte Zahl
Und ein Urnen Experiment mit 3 Roten und zwei Weissen, heisst
3/5 fuer Rot 2/5 fuer Weiss
Das heisst, bei einem Laplace Experiment ist guenstig deswegen wichtig, weil Rot ist Rot, aber sie haben drei Rote Murmeln
1.) Relative Haeufigkeit 2.) Wahrscheinlichkeit: Fester wert, dem man sich annaehert, empirisch 3.) Laplace, wenn alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, aber mit guenstig/moeglich 3/5 4.) Jetzt kommt die Bedingte Wahrscheinlichkeit
Noch mal was anderese - Bedingte Wahrscheinlichkeit, wenn dem ganzen eine Bedingung angebunden wird.
Das heisst, die Wahrscheinlichkeit ist unter Umstaenden ein empirischer Wert, dem wir uns naehern und beim Laplace Experiment ist es eben
1/6 beim L-Wuerfel
oder guenstig durch moeglich 3/5, bei 3 Roten
Und spaeter kommt die Bedingte Wahrscheinlichkeit, indem wir Bedingung dazu tun.
Entschuldigung: 6*6 = 36, das muss 36 heissen
Jetzt gibt es dazwischen was, was noch eingeschoben werden muss, die die wahrscheinlichkeit beim mehrstufigen Zufallsexperiment
Also, wenn wir
Ein zweistufiges Wuerfelexperiment haben, haben wir
11,12,13,14,...
gut
Eigentlich koennnten wir einen wuerfel mit 36 Flaechen nehmen. Und den Ziffern drauf
Aber, der Witz ist, dass das zweistufige Zufallsexperiment das gleiche macht
Oder wir nehmen 2 Wuerfen
1.) Ein Wuerfel mit 36 Flaechen 2.) Zwei Wuerfel auf ein Mal 3.) Ein Wuerfel hintereinander
ist das gleiche. Und der Witz ist, dass wir davon ausgehen wir haben
1.) Zwei Wuerfel mit einem. Was eigentlich 11,12,...
bedeutet. Damit gibt es das nicht. Trotzdem kann man die Wahrscheinlichkeit beim mehrstufigen Zufallsxperiment ausrechnen
1/6*1/6 = 1/36
Also man kann die Wahrscheinlichkeit im mehrstufigen Zufallsexperiment ausrechnen, obwohl es eigentlich jeweils ein Elementarereignis nimmt
indem man die Wahrscheinlichkeit fuer 1, 2, 3, ... nimmt Und miteinander multipliziert.
Jetzt kommt das mit der menge. Also, das Ereignis ist ja eine Untermenge. Das heisst, bei
11, 12, 13, 14, ...
ist das einfach
23, 56
oder so. Ganz einfach. Und - wenn sie jetzt die Wahrscheinlichkeit berechnen, wenn das 2 Wuerfel sind
Sind das
1/6 * 1/6
das ist die Pfadmultiplikationsregeln
Wenn sie aber die Menge betrachte
1/6*1/6 + 1/6 * 1/6
Das wenn die Wahrscheinlichkeit gleich ist, schlechtes beispiel. Zum beispiel haben sie 5 mit der Wahrscheinlichkeit 3 und 2 mit der Wahrscheinlichkeit 2 und den Rest 1/3
Dann haben sie
3/6 * 2/6 + 1/6+1/6
Fuer
52,11
Jetzt ueberspringe ich den Additionssatz, aber Binomial ist einfach Der Additionssatz ist, wenn sie Lotterie 1 und 2 haben, das ist ja nicht schwierig. Ich lerne das auswendig
Das lerne ich, ich habe besseren aufschrieb, das ist nicht der Aufschrieb, keine Sorge, das waren meine Notizen, das waren nur bemerkungen, den Aufschrieb lerne ich
Jetzt kommt - Lotterie1 und 2. Das ist halt - Addtionssatz und jetzt kommt der Binomialkoeffizent
Zuerst gibt es dinge, wie
nk̂
Das ist einfach
2*2*2*2
und n! 1*2*3*4*...*n
sollte man programmiertechnisch machen koennen
k = 1; for (i = 1; i <= n; i++) k *= i;
OK. Und dann das naechste.
Jetzt gibt es geordnete Stichproben und ungeordnete. Und das lerne ich einfach auswendig.
Ach, ja, beim Additionssatz kommt die Bedingte Wahrscheinlichkeit. Also, das ist leicht zu verstehen, aber ich denke nicht, dass man das so sehr