eines habe ich schon mal verstanden

Anmerkung: Ich kann ganz gut mit vollstaendiger Induktion bei natuerlichen Zahlen umgehen. Weil ich habe dazu uebungen und ich mache sie oft. Ich werde auch jetzt wieder machen
Aber: Bei Graphen - das ist das erste Mal, dass ich die Vollstaendige Induktion bei Graphen benutze, ist es auch offensichtlich
Wenn in der Induktionsbehauptung etwas fuer einen Graphen mit n Knoten gilt - und ich nehme einen beliebigen oder bestimmten Knoten v, entferne den, dann gilt nach der Annnahme der vollstaendigen Induktion dasselbe fuer den Graphen mit den uebrigen n-1 Knoten.
Kurz und gut, ich habe die Behaupung ja fuer n Knoten aufgestellt, wenn ich den Knoten v entnehme, und ich n-1 Knoten habe, muesste fuer den Teil-Graphen G' dasselbe gelten wie fuer G.
Wichtig ist allerdings die Eulersche Polyeder Formel
Das ist eben nicht unwichtig - im Gegenteil, also man muss die Induktion fuer Graphen verstehen, aber die Eulersche Polyeder Formel sagt etwas wichtiges aus fuer planare Graphen
Planere Graphen haben einen Durchschnittsgrad kleiner gleich 6,
Da stimmte was nicht ich muss die Eulersche Polyeder Formel genau angucken. Aber ob das zu 100 Pro stimmt oder nicht, mit der Eulersche Polyeder Formel, einen Moment ich kann sie nachgucken, die Induktion fuer Graphen stimmt in jedem Fall, ich mache gleich ein Beispiel fuer Natuerliche Zahlen und Knoten, lassen sie sich erst Mal inspirieren von aussen her, bevor sie ins innere gehen, solange die Induktion stimmt
Nein, ich habe jetzt nachgeguckt, die Aussage war gar nicht falsch
Es heisst nicht, dass jeder Knoten oder jede Ecke hoechsten Grad fuenf hat, aber G hat eine Ecke, halt - der Kasimir Kuratowski - which graphs embed in the plane? solange er planar ist, oder eben gezeichnet ist - eine - also mindestens eine vom Grad 5
Jetzt kann man sagen, fuer die Induktion, da der gesamte Graph, mindenstens eine Ecke vom Grad 5 hat, muesste das sozu sagen, fuer den Teilgraph nicht gelten, das stimmt aber nicht, induktiv bedeutet das, der Teilgraph ist wieder ein Graph und fuer den muss dasselbe gelten, das ist aber eine andere Induktion
Es muss aber nicht der Knoten sein um den es geht!
Das ist der Unterschied
Die Eulersche Polyeder formel geht uebrigens anders:

$\displaystyle n - e + f = 2$

Die Aussage hat einen Knoten vom Grad hoechstens 5 ist eine Folge. Fuer Leute die Graphen zeichnen sieht das logisch aus, es gibt immer Knoten mit der Valenz 2 oder 4 oder so
Die zweite Folge, hat hoechsten Kanten, das ist auch eine Folge
Und es gibt eine Dritte, fuer die Kantenfaerbung
Das alles steht so auch im Buch der Beweise. Martin Aigner, Guenther M Ziegler

Das bestaetigt mich in der Annahme, dass ich die Vollstaendige Induktion auch zu meinen ueblichen Uebungsaufgaben tue.

Jetzt machen wir was anderes Jeder Knoten entspricht einer Natuerlichen Zahl. Dabei entspricht ein Knoten v, der natuerlichen Zahl n und ein Knoten w, der Natuerlchen Zahl $n-1$ . Induktion. Wenn ich $v=\{n\}$ entferne setze ich

$\displaystyle n = n-1$

Und es gilt dasselbe.

https://www.emath.de/Referate/induktion-aufgaben-loesungen.pdf

Hier sind Induktionsaufgaben fuer natuerliche Zahlen, genial, im Netz und mehr als ich sie habe. Mehr, nicht viel mehr, aber mehr, da sie im Netz sind, kann ich sie gut loesen und veroeffentlichen. sie sind ja im Netz und ich loese sie

Gut, das mache ich gleich mal, einen Moment

Ein Graph K, mit 6 Knoten, bei dem Jeder Knoten mit einer Kante mit jedem der 5 anderen Knoten jeweils verbunden ist, ist zwar denkbar, aber nicht mehr planar. Weil hier sind, mehr oder gleich als 6 Ecken verbunden, der Grad ist immer >= 6, wenn wir einen groesseren Graph nehmen, aber der ist nicht planar.

Das folgende